11. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 31. Berechne nach de l’Hôpital lim_{x→0} \frac{ln(1+x)}{x} und daraus die Grenzwerte lim_{n→∞} n ln (1 + \frac{1}{n}) und lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n}.

Bemerkung. Die Benutzung des de l’Hôpitalschen Satzes ist hier ziemlich übertrieben; wer sieht warum, der darf auch kürzer argumentieren.

Aufgabe 32. Bestimme die Taylorreihe bei 0 von \sqrt{1 − x} und ihren Konvergenzradius. Zeige, dass sie im Intervall (−1, \frac{1}{2}) die Funktion darstellt, und nutze sie, um \sqrt{0.9} mit einem Fehler von weniger als 10^{−4} zu berechnen.

Aufgabe 33. Zeige:

(i) Es sei n ∈ ℕ_{0}. Zu jedem ϵ > 0 existiert ein M ∈ ℝ, so dass

x^{n} exp(−x) < ϵ

für alle x > M. (ii) Es sei n ∈ ℕ_{0}. Zu jedem ϵ > 0 existiert ein δ > 0, so dass

x^{−n} exp (−\frac{1}{x}) < ϵ

für alle x ∈ (0, δ). (iii) Die Funktion

f: ℝ → ℝ
x ↦ \begin{cases}exp (−\frac{1}{x}) , & x > 0 \\ 0, & x ≤ 0 \end{cases}

ist stetig und zweimal differenzierbar mit f(0) = f′(0) = f′′(0) = 0.

Tipp (zu (i)). Benutze die Funktionalgleichung und die Reihendarstellung von exp x.

Bemerkung.

• Die Aussagen aus (i) und (ii) formuliert man auch so:

lim_{x→+∞} x^{n} exp(−x) = 0,  lim_{x↘0} = x^{−n} exp (−\frac{1}{x}) = 0.

• Wie man vielleicht bemerkt hat, ist f in der Tat beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen verschwinden bei 0.

Abgabe: am 26. 1. 2000 in der Vorlesung.