3. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Information. Die Übungen sind einzeln abzugeben. Wir haben keine Doppelabgabe vereinbart.

Wir erinnern kurz an die Vorlesung:

Definition. Für eine natürliche Zahl n > 1 definieren wir ℤ_{n} als die Menge der Äquivalenzklassen von ℤ bezüglich der Relation ∼ aus Aufgabe 4. Außerdem defineren wir auf ℤ_{n} Addition und Multiplikation vertreterweise, also [a]_{∼} + [b]_{∼} := [a + b]_{∼} und [a]_{∼} · [b]_{∼} := [a · b]_{∼}.

Aufgabe 7. Es sei n > 1 eine natürliche Zahl. Zeige, dass ℤ_{n} ein Ring ist.

Bemerkung. Es darf als aus Vorlesung und Übung bekannt vorausgesetzt werden, dass die Addition und die Multriplikation wohldefiniert sind, das heißt, dass sie so wie geschehen definiert werden können. Dies ist also nicht auch noch zu zeigen.

Aufgabe 8. Zeige durch direkte Angabe der Inversen beziehungsweise eines Elementes, das kein Inverses besitzt:

(i) ℤ_{5} ist ein Körper. (ii) ℤ_{9} ist kein Körper.

Bemerkung. Man kann zeigen, dass ℤ_{n} genau dann ein Körper ist, wenn n eine Primzahl ist.

Definition. Für Mengen X, Y, eine Funktion f: X → Y und Teilmengen A ⊆ X, B ⊆ Y definieren wir das Bild von A unter f

f[A] := {y ∈ Y | Es existiert ein x ∈ A mit f(x) = y.}

und das Urbild von B unter f

f^{−1}[B] := {x ∈ X | f(x) ∈ B}.

Aufgabe 9. Es seien X, Y Mengen, f: X → Y eine Funktion und A ⊆ X. Zeige:

(i) Ist f injektiv, so ist f^{−1}[f[A]] = A. (ii) Im allgemeinen gilt f^{−1}[f[A]] = A nicht. (iii) Die Umkehrung von (i) gilt im allgemeinen nicht.

Abgabe: am 17. 11. 1999 in der Vorlesung.