4. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 10.

(i) Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ

∑_{k=1}^{n} k^{3} = (\frac{1}{2}n(n + 1))^{2}

gilt. (ii) Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ ℕ und alle

x ∈ ℝ\{1}

(1 + x) · (1 + x^{2}) ⋯ (1 + x^{2^{n}}) = \frac{1 − x^{2^{n+1}}}{1 − x}

gilt. (Das Produkt auf der linken Seite besteht aus n Faktoren, der k-te ist 1 + x^{(2^{k})}.)

Notation. Ist f: X → Y eine Funktion und A ⊆ X, so bezeichnet f|_{A} die Einschränkung von f auf A, also die Funktion f|_{A}: A → Y, die durch f|_{A}(x) := f(x) gegeben ist.

Aufgabe 11. Finde für die folgenden Funktionen f_{i}: ℝ → ℝ jeweils ein D_{i} ⊆ ℝ, so dass f|_{D_{i}} injektiv ist, aber f_{i}[D_{i}] = f_{i}[ℝ].

f_{1}(x) := x^{2},  f_{2}(x) := x^{3},
f_{3}(x) := sin x,  f_{4}(x) := das größte z ∈ ℤ, so dass z ≤ x.

Aufgabe 12. Zeige, dass die folgenden Abbildungen d_{i}: ℝ^{2} × ℝ^{2} → ℝ Abstandsfunktionen sind. Skizziere — wenn das sinnvoll möglich ist, ansonsten beschreibe — die Mengen \{p ∈ ℝ^{2} | d_{i}(p, (1, 1)) ≤ \frac{1}{2}\} und \{p ∈ ℝ^{2} | d_{i}(p, (1, 1)) ≤ \frac{3}{2}\}.

d_{1}(p, q) := \begin{cases}0, & p = q, \\ 1, & sonst, \end{cases}
d_{2}((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) := max{|x_{1} − x_{2}|, |y_{1} − y_{2}|}.

Abgabe: am 24. 11. 1999 in der Vorlesung.