5. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 13. Bestimme alle Häufungspunkte und Grenzwerte der folgenden Folgen. Gib direkte Beweise mit Hilfe der Definitionen von Grenzwerten und Häufungspunkten an.

(i) a_{n} := \sqrt{\frac{1+n}{n}}, (ii) b_{n} := (−1)^{n} (1 + \frac{1}{n}).

Aufgabe 14. Es sei die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} rekursiv durch

a_{1} = 0,
a_{2} = 1,
a_{n+2} = \frac{1}{2}(a_{n+1} + a_{n})

gegeben. Entscheide, ob die Folge konvergent ist, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Tip. Zeige induktiv, dass a_{n+1} − a_{n} = (−\frac{1}{2})^{n−1}, und benutze die geometrische Reihe.

Aufgabe 15. Die Fibonacci-Zahlen F_{n} sind durch

F_{1} = 1,
F_{2} = 1,
F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}

definiert.

(i) Zeige durch vollständige Induktion, dass

F_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n}) für alle n ∈ ℕ.

(ii) Zeige, dass

lim_{n→∞} \frac{F_{n}}{F_{n+1}} = \frac{\sqrt{5} − 1}{2}.

Tip (zu (ii)).

• Benutze (i).

• Vergleiche die Werte von \frac{1+\sqrt{5}}{2} und \frac{1−\sqrt{5}}{2}.

• Die Rechenregeln für Grenzwerte (Vertauschbarkeit mit Addition etc.) dürfen benutzt werden.

Abgabe: am 1. 12. 1999 in der Vorlesung.