6. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 16. Zeige per vollständiger Induktion, dass

(1 + x)^{n} ≥ 1 + nx für alle n ∈ ℕ und x ∈ ℝ mit x ≥ −1.

Definition. Für n, k ∈ ℕ_{0} := ℕ ∪ {0} definieren wir

\binom{n}{k} := ∏_{i=1}^{k} \frac{n + 1 − i}{i} = \frac{n · (n − 1) ⋯ (n + 1 − k)}{1 · 2 ⋯ k}

Bemerkung. Das Produkt in der Definition ist so zu verstehen, dass \binom{n}{0} = 1 für alle n ∈ ℕ_{0}. Außerdem ist \binom{n}{k} = 0 für k > n, da dann im Zähler n + 1 − (n + 1) als Faktor auftaucht.

Aufgabe 17.

(i) Zeige, dass \binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k + 1} + \binom{n}{k} für alle n, k ∈ ℕ_{0}.

(ii) Zeige mittels vollständiger Induktion, dass

(a + b)^{n} = ∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k}a^{n−k}b^{k}

für alle n ∈ ℕ_{0} und alle a, b ∈ ℝ.

Bemerkung. Statt a, b ∈ ℝ zu fordern, hätte man auch allgemeiner zulassen können, dass a und b Elemente eines beliebigen kommutativen Rings mit Eins sind. Der Beweis wäre derselbe gewesen.

Aufgabe 18. Zeige von jeder der beiden folgenden Funktionen entweder, dass sie an der Stelle 1 stetig ist oder dass sie dort unstetig ist. Benutze dazu direkt die Definition der Stetigkeit.

f: ℝ → ℝ  g: ℝ → ℝ
f(x) = \begin{cases}2, & x ≤ 1 \\ x + 1, & x > 1 \end{cases}  g(x) = \begin{cases}−x + 1, & x ≤ 1 \\ 1 & x > 1 \end{cases}

Abgabe: am 8. 12. 1999 in der Vorlesung.