7. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 19. Zeige:

(i) Ist I ⊆ ℝ, f: I → ℝ gleichmäßig stetig und (a_{n}) eine Cauchy-Folge in I, so ist auch (f(a_{n})) eine Cauchy-Folge.

(ii) Die Funktion f: (0, ∞) → (0, ∞) mit f(x) = \frac{1}{x} ist nicht gleichmäßig stetig.

Aufgabe 20. Zeige, dass ein x ∈ [0, 2] existiert, so dass

∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 0.

Anleitung. Der angegebene Ausdruck stellt auf ganz ℝ eine stetige Funktion dar. Zeige dies zumindest für das betrachtete Intervall, und vergiss nicht, die benutzten Sätze aus der Vorlesung zu zitieren. Vergleiche dann die Werte bei x = 0 und x = 2. Der zweite wird nicht exakt zu berechnen sein, das ist aber auch nicht nötig. Wende schließlich wieder einen aus der Vorlesung bekannten Satz an.

Aufgabe 21. Betrachte die Potenzreihe

∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{k} .

Was ist ihr Konvergenzradius, für welche x ∈ ℝ konvergiert sie?

Tip. Für einen Teil der Aufgabe mag das Leibniz-Kriterium hilfreich sein.

Abgabe: am 15. 12. 1999 in der Vorlesung.