8. ÜBUNG ZUR VORLESUNG „MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER I“ IM WINTERSEMESTER 1999/2000

PROF. DR. BERENDT CARSTEN SCHULTZ

Aufgabe 22. Entscheide, ob die folgenden Reihen konvergent sind. Gib Rechnungen und die benutzten Konvergenzkriterien an.

∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}} ,  ∑_{k=0}^{∞} \frac{k^{4}}{3^{k}} ,  ∑_{k=0}^{∞} \frac{k + 4}{k^{2} − 3k + 1},  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k + 1)^{k−1}}{(−k)^{k}} .

Bemerkung. Man braucht das zwar nicht wirklich, aber wer will, der darf benutzen, dass lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} existiert.

Wir erinnern an die Exponentialfunktion exp, die durch die Potenzreihe exp(x) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}x^{k} gegeben ist. Wie man sofort nachprüft ist der Konvergenzradius ∞, so dass die Reihe in jedem Punkt absolut und auf jedem abgeschlossenen beschränkten Intervall gleichmäßig konvergiert und so eine auf ganz ℝ stetige Funktion darstellt.

Wir wissen, dass wir absolut konvergente Reihen wie Summen multiplizieren dürfen:

Satz (Cauchy-Produkt von Reihen). Es seien ∑_{k=0}^{∞} a_{k} und ∑_{k=0}^{∞} b_{k} absolut konvergente Reihen. Setzen wir c_{k} := ∑_{l=0}^{k} a_{l}b_{k−l}, so ist auch ∑_{k=0}^{∞} c_{k} absolut konvergent, und es gilt

(∑_{k=0}^{∞} a_{k}) (∑_{k=0}^{∞} b_{k}) = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}.

Aufgabe 23. Zeige:

(i) exp(0) = 1, (ii) exp(x) exp(y) = exp(x + y) für alle x, y ∈ ℝ,

(iii) exp(−x) = \frac{1}{exp(x)} für alle x ∈ ℝ.

Tipp. Binomischer Lehrsatz, \binom{k}{l} = \frac{k!}{l!(k−l)!}.

Aufgabe 24. Zeige, dass exp auf ganz ℝ streng monoton wachsend und positiv ist.

Tipp. Zeige dies zunächst im positiven Bereich und benutze dann Aufgabe 23.

Frohe Weihnachten und einen guten Start ins neue Jahr^{1}!

Abgabe: am 5. 1. 2000 in der Vorlesung.

1An der Diskussion, ob am 1. 1. 2000 bereits das neue Jahrtausend beginnt, beteiligen wir uns hier lieber nicht.